กรวยและทรงกระบอก
พร้อมทดลอง: กรวยและทรงกระบอกยังว่าง เหยือกมีน้ำ 1,000 mL คลิกบนโต๊ะหรือกดปุ่มเพื่อเริ่ม
สูตรและค่าที่ใช้
กรวย 1 ใบ
ทรงกระบอก 1 ใบ
ระดับน้ำในทรงกระบอก
เทหนึ่งกรวยน้ำสูงขึ้น 100π ÷ 25π = 4 ซม.
น้ำในเหยือก
คีย์ลัด
ตารางบันทึกผลการทดลอง
| ครั้งที่เท | น้ำที่เทเพิ่ม (cm³) | น้ำสะสมในทรงกระบอก (cm³) | ระดับน้ำ (ซม.) | สัดส่วนที่เต็ม |
|---|---|---|---|---|
| ยังไม่มีผล กดเทน้ำเพื่อเริ่มบันทึก | ||||
| ความจุทรงกระบอก | ใช้ 3 กรวย | 300π ≈ 942.48 | 12.00 | 1 |
ทำไมต้องเป็น ⅓
เทียบกันได้เพราะฐานเท่ากันและสูงเท่ากัน
กรวยกับทรงกระบอกชุดนี้มี r = 5 ซม. และ h = 12 ซม. เท่ากัน ถ้ารัศมีหรือความสูงต่างกัน จะเทกี่ครั้งก็ไม่ได้ 3 ครั้งพอดี
ผลการทดลอง
เทครบ 3 กรวย ทรงกระบอกเต็มพอดี จึงได้ 3 × Vกรวย = πr²h หรือ Vกรวย = ⅓πr²h
น้ำสูงขึ้นครั้งละ 4 ซม. ขีดที่ 4, 8 และ 12 ซม. จึงตรงกับ ⅓, ⅔ และเต็ม
เหตุผลจากการหั่นเป็นแผ่นบาง ๆ
หั่นทั้งสองรูปเป็นแผ่นบาง ๆ ขนานกับฐาน ทรงกระบอกได้วงกลมรัศมี 5 ซม. ทุกแผ่น แต่กรวยได้วงกลมที่เล็กลงเมื่อเข้าใกล้ยอด ที่ระยะ x ซม. จากยอด รัศมีเป็น 5x⁄12 พื้นที่แผ่นจึงเหลือ (x⁄12)² ของฐาน เมื่อรวมทุกแผ่นได้ ⅓ ของทรงกระบอกพอดี
สังเกตตอนเติมกรวย น้ำสูงขึ้นเร็วในช่วงแรกแล้วช้าลง เมื่อสูงครึ่งกรวย (6 ซม.) มีน้ำเพียง (½)³ = ⅛ ของกรวย
เชื่อมกับพีระมิด
พีระมิดก็จุ ⅓ ของปริซึมที่ฐานเท่ากันและสูงเท่ากัน ตัวอย่างที่เห็นภาพง่าย คือ ลูกบาศก์หนึ่งลูกผ่าได้เป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากันทุกประการ 3 อัน
ตรวจความเข้าใจ
1กรวยกับทรงกระบอกมีรัศมีและความสูงเท่ากัน ปริมาตรของกรวยเป็นกี่เท่าของทรงกระบอก
เทกรวย 3 ครั้งจึงเต็มทรงกระบอก กรวยหนึ่งใบจึงเป็น ⅓ ของทรงกระบอก
2ทรงกระบอกรัศมี 5 ซม. เทน้ำเพิ่ม 1 กรวย (100π cm³) ระดับน้ำสูงขึ้นกี่เซนติเมตร
ระดับน้ำ = ปริมาตร ÷ พื้นที่ฐาน = 100π ÷ (π × 5²) = 100 ÷ 25 = 4 ซม.
3ถ้าใช้กรวยรัศมี 5 ซม. แต่สูง 24 ซม. ต้องเทกี่ครั้งจึงเต็มทรงกระบอกใบนี้ (สูง 12 ซม.)
กรวยใหม่จุ ⅓ × π × 5² × 24 = 200π จึงต้องเท 300π ÷ 200π = 1.5 ครั้ง ความสัมพันธ์ 3 ครั้งพอดีใช้ได้เมื่อฐานและความสูงเท่ากันเท่านั้น
4เติมน้ำในกรวยจนสูงครึ่งหนึ่งของความสูงกรวย จะมีน้ำกี่ส่วนของกรวย
น้ำส่วนที่อยู่ในกรวยเป็นกรวยเล็กที่ทั้งรัศมีและความสูงเป็นครึ่งหนึ่ง ปริมาตรจึงเป็น (½)³ = ⅛ ลองเติมดูบนโต๊ะทดลองแล้วสังเกตขีด ½h