ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก

ภาคตัดกรวย 2 วงกลม วงเวียนคาน (x − h)² + (y − k)² = r²

ปักขาเข็มของวงเวียนคานที่จุดศูนย์กลาง C(h, k) ตั้งดินสอบนคานห่างออกไป r แล้วหมุนคาน ดินสอลากวงกลมที่ทุกจุดห่างจาก C เท่ากับ r จึงได้ (x − h)² + (y − k)² = r² มีรูปทั่วไปที่แก้ด้วยกำลังสองสมบูรณ์ และโจทย์พื้นที่สัญญาณของเสา

  • ม.4
  • เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
  • คาบ 2–3 · ประมาณ 100 นาที
  • จำลองการทดลอง
แบบจำลองเพื่อการเรียนรู้ ดูสูตรและเงื่อนไข อัปเดตเนื้อหา

วงเวียนคานบนระนาบพิกัด

−8−8−6−6−4−4−2−2224466880xy1 ช่อง = 1 หน่วย
รอยดินสอ: ทุกจุดที่ดินสอผ่านขาเข็มที่ C(h, k) และดินสอที่ระยะ r บนคานวงเวียนคานบนโต๊ะเขียนแบบ ขาเข็มปักที่จุดศูนย์กลาง ดินสอยึดอยู่บนคานห่างออกไปเท่ากับรัศมี สเกลบนคานแบ่งช่องละ 1 หน่วย คานยืดได้ตามรัศมี หมุนคานไปทางไหนดินสอก็ยังห่างจากขาเข็มเท่าเดิม รอยที่ได้จึงเป็นวงกลม (x − h)² + (y − k)² = r²
ตั้งวงเวียน h = 2 k = −1 r = 3
โจทย์ในแผน

ภาพวาดด้วยชุดเครื่องมือ Anatomy (MIT License © 2026 Ryan)

กระดานคิด

คีย์ลัด (คลิกที่ภาพก่อน)
← →หมุนคานทีละ 15° (Shift ทีละ 45°) ↑ ↓เพิ่มหรือลดรัศมี r (รูปมาตรฐาน) Spaceวาดให้ครบรอบ

สรุปสูตรจากเครื่องมือ

บทนิยาม

CP = r ทุกจุด P บนวงกลม

วงกลมคือเซตของจุดบนระนาบที่ห่างจากจุดคงที่ C (จุดศูนย์กลาง) เป็นระยะเท่ากันเสมอ ระยะนั้นคือรัศมี r > 0

รูปมาตรฐาน

(x − h)² + (y − k)² = r²

จุดศูนย์กลาง C(h, k) รัศมี r ถ้า C อยู่ที่จุดกำเนิด ได้ x² + y² = r²

รูปทั่วไป

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

จุดศูนย์กลาง (−D/2, −E/2) และ r² = D²/4 + E²/4 − F ถ้าค่านี้มากกว่า 0 เป็นวงกลม เท่ากับ 0 เป็นจุดเดียว น้อยกว่า 0 ไม่มีจุดใดเลย

อธิบายสิ่งที่เห็น

วงเวียนคานคือบทนิยามของวงกลม

ขาเข็มตรึงอยู่ที่จุดศูนย์กลาง C ดินสอยึดอยู่บนคานห่างจากเข็ม r หมุนคานไปทางไหนระยะ CP ก็ยังเท่าเดิม รอยดินสอจึงเป็นเซตของจุดที่ห่างจาก C เท่ากับ r พอดี

จากระยะทางสู่สมการ

ใช้สูตรระยะทางระหว่างจุด P(x, y) กับ C(h, k) ได้ CP = √((x − h)² + (y − k)²) = r ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้รูปมาตรฐาน

(x − h)² + (y − k)² = r²

รูปทั่วไปมาจากการกระจาย ย้อนกลับด้วยกำลังสองสมบูรณ์

กระจาย (x − 2)² + (y + 1)² = 9 ได้ x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0 ถ้าได้รูปทั่วไปมา ให้จัดกลุ่ม x และ y แล้วเติมกำลังสองสมบูรณ์ เช่น x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 เติม 4 และ 9 ทั้งสองข้างได้ (x − 2)² + (y + 3)² = 25 จุดศูนย์กลาง (2, −3) รัศมี 5

เมื่อสมการไม่ใช่วงกลม

x² + y² − 2x + 4y + 5 = 0 จัดรูปได้ (x − 1)² + (y + 2)² = 0 มีจุด (1, −2) จุดเดียว ส่วน x² + y² + 2x − 4y + 10 = 0 จัดรูปได้ (x + 1)² + (y − 2)² = −5 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะผลบวกของกำลังสองเป็นลบไม่ได้ วงเวียนจึงยกดินสอค้างไว้

ประยุกต์: พื้นที่สัญญาณของเสา

เสาตั้งที่ (3, 4) ส่งสัญญาณได้ไกล 5 กิโลเมตร ขอบเขตสัญญาณคือ (x − 3)² + (y − 4)² = 25 จุดใดที่ค่าทางซ้ายน้อยกว่า 25 อยู่ห่างเสาไม่ถึง 5 กิโลเมตร จึงรับสัญญาณได้ เท่ากับ 25 อยู่บนขอบพอดี มากกว่า 25 อยู่นอกพื้นที่

ตรวจความเข้าใจ
ตอบถูก 0 / 5

1สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (2, −1) และรัศมี 3 คือข้อใด

แทน h = 2, k = −1, r = 3 ใน (x − h)² + (y − k)² = r² ได้ (x − 2)² + (y + 1)² = 9 สังเกตว่า y − (−1) = y + 1 และด้านขวาเป็น r² = 9 ไม่ใช่ 3

2x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 มีจุดศูนย์กลางและรัศมีเท่าใด

เติมกำลังสองสมบูรณ์: (x² − 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9 ได้ (x − 2)² + (y + 3)² = 25 จุดศูนย์กลาง (2, −3) รัศมี √25 = 5

3สมการ x² + y² + 2x − 4y + 10 = 0 แทนอะไรบนระนาบ

จัดรูปได้ (x + 1)² + (y − 2)² = 1 + 4 − 10 = −5 ผลบวกของกำลังสองเป็นลบไม่ได้ จึงไม่มีจุด (x, y) ใดที่สอดคล้อง

4เสาสัญญาณตั้งที่ (3, 4) ส่งได้ไกล 5 กม. บ้านที่ (6, 8) รับสัญญาณได้อย่างไร

(6 − 3)² + (8 − 4)² = 9 + 16 = 25 เท่ากับ r² พอดี บ้านจึงอยู่ห่างเสา 5 กม. บนขอบเขตสัญญาณ

5เลื่อนดินสอบนคานให้ห่างเข็มเป็นสองเท่า สมการรูปมาตรฐานเปลี่ยนอย่างไร

ระยะดินสอคือรัศมี r เพิ่มเป็น 2r ค่าทางขวาจึงเป็น (2r)² = 4r² ส่วนจุดศูนย์กลาง (h, k) อยู่ที่เดิมเพราะไม่ได้ย้ายเข็ม