ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก

ภาคตัดกรวย 3 พาราโบลา ไม้ฉากกับเชือก PF = PD

ไดเรกทริกซ์เป็นรางตรง ไม้ฉากเลื่อนไปตามราง เชือกยาวเท่าแขนไม้ฉาก ปลายหนึ่งผูกที่ปลายแขน อีกปลายตรึงที่หมุดโฟกัส ดินสอกดเชือกให้แนบแขน ระยะถึงโฟกัสจึงเท่ากับระยะถึงรางเสมอ ได้พาราโบลาครบสี่ทิศ เลื่อนจุดยอดได้ มีรูปทั่วไปและโจทย์จานรับสัญญาณดาวเทียม

  • ม.4
  • เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
  • คาบ 4–6 · ประมาณ 150 นาที
  • จำลองการทดลอง
แบบจำลองเพื่อการเรียนรู้ ดูสูตรและเงื่อนไข อัปเดตเนื้อหา

ไม้ฉากกับเชือกบนระนาบพิกัด

−8−8−6−6−4−4−2−2224466880xy1 ช่อง = 1 หน่วย
รอยดินสอ: ทุกจุดที่ PF = PDรางไดเรกทริกซ์ ไม้ฉาก และหมุดโฟกัสไดเรกทริกซ์เป็นรางตรงบนกระดาษกราฟ ไม้ฉากเลื่อนไปตามราง เชือกยาวเท่าแขนไม้ฉาก ปลายหนึ่งผูกที่ปลายแขน อีกปลายตรึงที่หมุดโฟกัส ดินสอกดเชือกให้แนบแขน ระยะจากดินสอถึงโฟกัสจึงเท่ากับระยะถึงรางเสมอ สเกลบนรางและบนแขนแบ่งช่องละครึ่งหน่วย
ทิศที่เปิด
ตั้งเครื่องมือ c = 2 h = 0 k = 0

ภาพวาดด้วยชุดเครื่องมือ Anatomy (MIT License © 2026 Ryan)

กระดานคิด

คีย์ลัด (คลิกที่ภาพก่อน)
← →เลื่อนไม้ฉากทีละครึ่งช่อง Spaceวาดตลอดเส้น

สรุปสูตรจากเครื่องมือ

บทนิยาม

PF = PD

พาราโบลาคือเซตของจุดบนระนาบที่ห่างจากจุดคงที่ F (โฟกัส) เท่ากับห่างจากเส้นตรงคงที่ (ไดเรกทริกซ์)

เปิดขวาหรือซ้าย

(y − k)² = 4c(x − h)

จุดยอด V(h, k) โฟกัส (h + c, k) ไดเรกทริกซ์ x = h − c เปิดขวาเมื่อ c > 0 เปิดซ้ายเมื่อ c < 0

หงายหรือคว่ำ

(x − h)² = 4c(y − k)

โฟกัส (h, k + c) ไดเรกทริกซ์ y = k − c หงายเมื่อ c > 0 คว่ำเมื่อ c < 0 ลาตัสเรกตัมยาว 4|c| ทุกทิศ

อธิบายสิ่งที่เห็น

ไม้ฉากกับเชือกคือบทนิยามของพาราโบลา

แขนไม้ฉากตั้งฉากกับรางและยาว L เชือกก็ยาว L ส่วนของเชือกจากปลายแขนถึงดินสอแนบแขนยาว L − PD เชือกที่เหลือจากดินสอถึงหมุดโฟกัสจึงยาว L − (L − PD) = PD พอดี เลื่อนไม้ฉากไปที่ไหนก็ได้ PF = PD เสมอ

จากระยะทางสู่สมการ

ให้โฟกัส F(c, 0) และไดเรกทริกซ์ x = −c ระยะถึงโฟกัสเท่ากับระยะถึงเส้นตรง √((x − c)² + y²) = |x + c| ยกกำลังสองแล้วจัดรูปได้ y² = 4cx จุดยอดอยู่กึ่งกลางระหว่างโฟกัสกับไดเรกทริกซ์

y² = 4cx

เลื่อนจุดยอด และหมุนทิศที่เปิด

ย้ายจุดยอดไป (h, k) แทน x ด้วย x − h และ y ด้วย y − k ถ้าไดเรกทริกซ์เป็นเส้นนอน พาราโบลาจะหงายหรือคว่ำ ตัวแปรที่ยกกำลังสองจึงเป็น x แทน

รูปทั่วไปสู่รูปมาตรฐาน

y² − 4y − 8x − 4 = 0 จัดพจน์ y ไว้ข้างเดียวได้ y² − 4y = 8x + 4 เติม 4 ทั้งสองข้างได้ (y − 2)² = 8(x + 1) จุดยอด (−1, 2) 4c = 8 จึงได้ c = 2 เปิดทางขวา โฟกัส (1, 2) ไดเรกทริกซ์ x = −3

ประยุกต์: จานรับสัญญาณดาวเทียม

คลื่นจากดาวเทียมเข้ามาขนานกับแกนของจาน สะท้อนที่ผิวพาราโบลาแล้วไปรวมที่โฟกัสทุกเส้น จานกว้าง 60 ซม. ลึก 9 ซม. ขอบจานอยู่ที่ (9, 30) ซม. แทนใน y² = 4cx ได้ 900 = 36c จึงได้ c = 25 หัวรับสัญญาณต้องอยู่ห่างก้นจาน 25 ซม.

ตรวจความเข้าใจ
ตอบถูก 0 / 5

1พาราโบลา y² = 8x มีโฟกัสที่จุดใด

4c = 8 จึงได้ c = 2 จุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิดและเปิดทางขวา โฟกัสจึงอยู่ที่ (c, 0) = (2, 0)

2ไดเรกทริกซ์ของ x² = −12y คือเส้นใด

4c = −12 จึงได้ c = −3 พาราโบลาคว่ำ โฟกัส (0, −3) ไดเรกทริกซ์อยู่อีกด้านของจุดยอด y = −c = 3

3ทำไมดินสอจึงห่างโฟกัสเท่ากับห่างรางเสมอ

เชือกยาว L เท่าแขน ส่วนที่แนบแขนจากปลายแขนถึงดินสอยาว L − PD เชือกที่เหลือจากดินสอถึงโฟกัสจึงยาว PD ได้ PF = PD

4(y + 1)² = −8(x − 2) มีจุดยอดอยู่ที่ใดและเปิดทางไหน

เทียบกับ (y − k)² = 4c(x − h) ได้ h = 2, k = −1 และ 4c = −8 จึงได้ c = −2 ติดลบ พาราโบลาเปิดทางซ้าย โฟกัส (0, −1)

5จานรับสัญญาณกว้าง 60 ซม. ลึก 9 ซม. หัวรับสัญญาณต้องอยู่ห่างก้นจานเท่าใด

ขอบจานอยู่ที่ (9, 30) ซม. แทนใน y² = 4cx ได้ 30² = 4c × 9 จึงได้ c = 900 ÷ 36 = 25 ซม. หัวรับสัญญาณอยู่ที่โฟกัส