เชือกคล้องสองหมุดบนระนาบพิกัด
ภาพวาดด้วยชุดเครื่องมือ Anatomy (MIT License © 2026 Ryan)
กระดานคิด
คีย์ลัด (คลิกที่ภาพก่อน)
สรุปสูตรจากเครื่องมือ
บทนิยาม
วงรีคือเซตของจุดบนระนาบที่ผลบวกของระยะถึงจุดคงที่สองจุด (โฟกัส) มีค่าคงที่ 2a และ 2a มากกว่าระยะระหว่างโฟกัส
รูปมาตรฐาน (a > b)
แกนเอกแนวนอนยาว 2a แกนโทยาว 2b ถ้าแกนเอกแนวตั้ง a² อยู่ใต้ (y − k)² แทน
โฟกัสและความเยื้องศูนย์กลาง
โฟกัสอยู่บนแกนเอกห่างจุดศูนย์กลาง c หน่วย 0 ≤ e < 1 ถ้า c = 0 หมุดทับกัน รูปเป็นวงกลมรัศมี a
อธิบายสิ่งที่เห็น
เชือกยาวคงที่คือบทนิยามของวงรี
เชือกยาว 2a ผูกที่หมุดทั้งสอง ดินสอดึงเชือกให้ตึงเป็นสองช่วง PF₁ และ PF₂ ไม่ว่าดินสอจะไปทางไหน สองช่วงรวมกันก็ยังเท่ากับความยาวเชือก จึงได้ PF₁ + PF₂ = 2a ทุกจุด
ทำไม b² = a² − c²
ที่ปลายแกนโท ดินสออยู่ห่างหมุดทั้งสองเท่ากัน เชือกแต่ละช่วงจึงยาว a เกิดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉาก b (จากจุดศูนย์กลางถึงดินสอ) กับ c (จากจุดศูนย์กลางถึงหมุด) และด้านตรงข้ามมุมฉาก a
หมุดใกล้กันยิ่งกลม หมุดห่างกันยิ่งแบน
เชือกยาวเท่าเดิม เลื่อนหมุดเข้าหากัน c ลดลง b เพิ่มขึ้น รูปจึงกลมขึ้น จนหมุดทับกัน (c = 0) ได้วงกลมรัศมี a ถ้าเลื่อนหมุดออกห่างจนเกือบเท่าความยาวเชือก รูปจะแบนลง e เข้าใกล้ 1
รูปทั่วไปสู่รูปมาตรฐาน
9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0 จัดกลุ่มได้ 9(x² − 4x) + 25(y² + 2y) = 164 เติมกำลังสองสมบูรณ์ได้ 9(x − 2)² + 25(y + 1)² = 225 หารด้วย 225 ได้ (x − 2)²/25 + (y + 1)²/9 = 1 จุดศูนย์กลาง (2, −1) a = 5 b = 3 c = 4 โฟกัส (−2, −1) และ (6, −1)
ประยุกต์: เครื่องสลายนิ่ว
ตัวสะท้อนของเครื่องเป็นผิววงรี a = 5 b = 3 จึงได้ c = 4 หัวกำเนิดคลื่นอยู่ที่โฟกัส F₁ และจัดให้นิ่วอยู่ที่โฟกัส F₂ คลื่นที่ออกจาก F₁ สะท้อนที่ผิวแล้ววิ่งไปที่ F₂ ทุกเส้น และทุกเส้นทางยาว 2a = 10 หน่วยเท่ากัน คลื่นจึงไปถึงนิ่วพร้อมกันและรวมพลังกันที่จุดนั้น
ตรวจความเข้าใจ
1เชือกยาว 10 หน่วย หมุดห่างกัน 8 หน่วย วงรีที่ได้มี a และ b เท่าใด
2a = 10 จึงได้ a = 5 หมุดห่างกัน 2c = 8 จึงได้ c = 4 และ b = √(a² − c²) = √(25 − 16) = 3
2วงรี x²/25 + y²/9 = 1 มีโฟกัสที่ใด
a² = 25 อยู่ใต้ x² แกนเอกจึงเป็นแนวนอน c² = a² − b² = 25 − 9 = 16 ได้ c = 4 โฟกัส (±4, 0)
3เลื่อนหมุดทั้งสองมาทับกัน โดยใช้เชือกยาว 2a เท่าเดิม จะได้รูปอะไร
หมุดทับกัน c = 0 เชือกทั้งสองช่วงเริ่มที่จุดเดียวกัน ดินสอจึงห่างจุดนั้น a เสมอ เป็นวงกลมรัศมี a (b = a)
4วงรี (x + 1)²/4 + (y − 3)²/16 = 1 มีแกนเอกอย่างไร
ตัวหารที่มากกว่าคือ 16 อยู่ใต้ (y − 3)² แกนเอกจึงเป็นแนวตั้ง a² = 16 ได้ a = 4 แกนเอกยาว 2a = 8
5ทำไมคลื่นจาก F₁ ทุกเส้นจึงไปถึงนิ่วที่ F₂ พร้อมกัน
จุด P ใดบนผิววงรีมี PF₁ + PF₂ = 2a ระยะทางของคลื่นทุกเส้นจึงเท่ากัน ใช้เวลาเท่ากัน และไปรวมกันที่ F₂ พร้อมกัน