ไม้บรรทัดหมุนกับเชือกบนระนาบพิกัด
ภาพวาดด้วยชุดเครื่องมือ Anatomy (MIT License © 2026 Ryan)
กระดานคิด
คีย์ลัด (คลิกที่ภาพก่อน)
สรุปสูตรจากเครื่องมือ
บทนิยาม
ไฮเพอร์โบลาคือเซตของจุดบนระนาบที่ผลต่างของระยะถึงจุดคงที่สองจุด (โฟกัส) มีค่าคงที่ 2a และ 2a น้อยกว่าระยะระหว่างโฟกัส
รูปมาตรฐาน
แกนตามขวางแนวนอนยาว 2a ถ้าแกนตามขวางแนวตั้ง เขียน (y − k)²/a² − (x − h)²/b² = 1
โฟกัสและเส้นกำกับ
เส้นกำกับคือเส้นทแยงของกรอบ 2a × 2b (แกนตามขวางแนวนอน) ความเยื้องศูนย์กลาง e = c/a มากกว่า 1
อธิบายสิ่งที่เห็น
ไม้บรรทัดกับเชือกคือบทนิยามของไฮเพอร์โบลา
ไม้บรรทัดยาว L หมุนรอบหมุด F₁ เชือกยาว L − 2a ผูกจากปลายไม้บรรทัดไปที่หมุด F₂ ดินสอกดเชือกให้แนบไม้บรรทัด ถ้าเชือกช่วงที่แนบไม้บรรทัดยาว s จะได้ PF₁ = L − s และ PF₂ = L − 2a − s ผลต่าง PF₁ − PF₂ = 2a เสมอ
กรอบ 2a × 2b และเส้นกำกับ
วาดกรอบสี่เหลี่ยมกว้าง 2a สูง 2b รอบจุดศูนย์กลาง เส้นทแยงของกรอบคือเส้นกำกับ เมื่อดินสอเลื่อนออกไปไกล กิ่งของไฮเพอร์โบลาจะเข้าใกล้เส้นกำกับมากขึ้นเรื่อย ๆ แต่ไม่ตัด
ทำไม c² = a² + b²
ครึ่งเส้นทแยงของกรอบ 2a × 2b ยาว √(a² + b²) ซึ่งเท่ากับระยะจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัส c พอดี ต่างจากวงรีที่ใช้ c² = a² − b² เพราะไฮเพอร์โบลามีโฟกัสอยู่นอกกรอบ
รูปทั่วไปสู่รูปมาตรฐาน
9x² − 4y² − 18x − 16y − 43 = 0 จัดกลุ่มได้ 9(x² − 2x) − 4(y² + 4y) = 43 เติมกำลังสองสมบูรณ์ได้ 9(x − 1)² − 4(y + 2)² = 43 + 9 − 16 = 36 หารด้วย 36 ได้ (x − 1)²/4 − (y + 2)²/9 = 1 จุดศูนย์กลาง (1, −2) a = 2 b = 3 c = √13 ≈ 3.61
ประยุกต์: หาตำแหน่งต้นเสียง
สถานีฟังเสียง A(−5, 0) และ B(5, 0) ห่างกัน 10 กม. เสียงไปถึงสองสถานีไม่พร้อมกัน ระยะทางที่เสียงเดินต่างกัน 6 กม. ต้นเสียงจึงอยู่ที่จุดซึ่ง |PA − PB| = 6 = 2a ได้ a = 3 c = 5 b = 4 อยู่บน x²/9 − y²/16 = 1 กิ่งที่ใกล้สถานีที่ได้ยินก่อน ต้องใช้สถานีอีกคู่หนึ่งจึงจะได้ตำแหน่งเป็นจุดเดียว
ตรวจความเข้าใจ
1ไฮเพอร์โบลา x²/9 − y²/16 = 1 มีโฟกัสที่ใด
c² = a² + b² = 9 + 16 = 25 ได้ c = 5 แกนตามขวางแนวนอนเพราะพจน์ x² เป็นบวก โฟกัส (±5, 0) ระวังอย่าใช้ c² = a² − b² ของวงรี
2เส้นกำกับของ x²/9 − y²/16 = 1 คือข้อใด
a = 3, b = 4 เส้นกำกับคือเส้นทแยงของกรอบ 6 × 8 มีความชัน ±b/a = ±4/3
3ไม้บรรทัดยาวกว่าเชือก 6 หน่วย ผลต่าง PF₁ − PF₂ ของทุกจุดบนกิ่งเท่าใด
PF₁ − PF₂ = ความยาวไม้บรรทัด − ความยาวเชือก = 6 = 2a ทุกจุด จึงได้ a = 3
4สมการรูปมาตรฐานของไฮเพอร์โบลาต่างจากวงรีอย่างไร
วงรีเป็นผลบวกของระยะ สมการจึงบวกกันและ c² = a² − b² ไฮเพอร์โบลาเป็นผลต่าง สมการจึงลบกันและ c² = a² + b²
5สถานี A(−5, 0) และ B(5, 0) ถ้าสถานี B ได้ยินเสียงก่อน ต้นเสียงอยู่ที่ใด
B ได้ยินก่อนแปลว่าต้นเสียงใกล้ B มากกว่า PA − PB = 6 จุดเหล่านี้อยู่บนกิ่งขวาของ x²/9 − y²/16 = 1 ซึ่งอยู่ใกล้ B